Zahnstangen-Rechner

Eine Ritzelumdrehung verschiebt die Zahnstange um den Teilkreisumfang des Ritzels: s = π · d = π · m · z, mit dem Modul m und der Zähnezahl z. Ein Ritzel mit 20 Zähnen und Modul 2 bewegt die Zahnstange um 125,66 mm (4,947 in) pro Umdrehung. Anders gesagt: Die Zahnstange bewegt sich für jeden durchlaufenden Zahn um eine Teilung (π · m). In Zoll-Einheiten gilt s = π · z / DP mit der Diametral Pitch DP. Die Lineargeschwindigkeit ist dann v = s · n / 60 in mm/s, mit n in U/min.

Die Umfangskraft am Teilkreis ist F = 2 · T / d, mit dem Ritzelmoment T und dem Teilkreisdurchmesser d. Mit T in N·m und d in mm gilt F = 2000 · T / d in Newton. Ein Ritzel mit 40 mm Teilkreisdurchmesser und 10 N·m erzeugt 500 N (112 lbf). Ein kleineres Ritzel ergibt bei gleichem Moment mehr Kraft, aber weniger Weg pro Umdrehung. Die Zähne der Zahnstange drücken das Ritzel außerdem mit einer Radialkraft von F · tan α weg, 182 N bei 20°.

Addieren Sie die Linearkräfte, die die Achse braucht: Beschleunigungskraft (Masse · Beschleunigung), Reibung in den Führungen, bei senkrechten oder geneigten Achsen den Gewichtsanteil sowie Prozesskräfte wie Schnittkräfte. Rechnen Sie dann mit T = F · d / 2000 (N·m, d in mm) in das Moment am Ritzel um und teilen Sie durch den Wirkungsgrad des Antriebs. Bei einem Getriebe teilen Sie das Ritzelmoment durch dessen Übersetzung, um das Motormoment zu erhalten. Prüfen Sie außerdem, dass die Motordrehzahl beim geforderten Vorschub im nutzbaren Bereich der Drehmomentkennlinie bleibt.

Der Zahnabstand oder die Teilung der Zahnstange ist p = π · m; bei Modul 2 liegen die Zähne also 6,283 mm auseinander. Modul 1,5 ergibt 4,712 mm, Modul 3 9,425 mm und Modul 4 12,566 mm. Zoll-Zahnstangen werden über die Diametral Pitch mit p = π / DP oder direkt über die Teilung (Circular Pitch) angegeben. Bei schrägverzahnten Zahnstangen wird der Modul meist im Normalschnitt angegeben, und der Weg pro Ritzelumdrehung wird π · mₙ · z / cos β.

Die Zahnstange muss den ganzen Hub abdecken, dazu den Eingriffsbereich des Ritzels und an jedem Ende etwas Zugabe: L ≥ Hub + etwa 2 · p + Endzugaben. Für 500 mm Hub mit einer Zahnstange Modul 2 (p = 6,283 mm) und je 20 mm Zugabe an jedem Ende sind das etwa 553 mm oder 88 Zähne. Längere Achsen verwenden mehrere aneinandergesetzte Zahnstangenstücke. Die Stöße müssen die Teilung genau einhalten; dazu spannt man die Stücke beim Verschrauben meist gegen ein kurzes Gegenstück.

Bei 20° Eingriffswinkel hat ein Ritzel in Nullverzahnung mit weniger als 17 Zähnen Unterschnitt, wenn es mit Wälzfräser oder Zahnstangenwerkzeug hergestellt wird. Unterschnitt schwächt den Zahnfuß und verkürzt die Eingriffsstrecke. Kleine Ritzel sind verlockend, weil sie mehr Kraft und feinere Auflösung ergeben, brauchen unter 17 Zähnen aber eine positive Profilverschiebung. In der Praxis sind 18 bis 30 Zähne üblich; Weg pro Umdrehung und Motordrehzahl lassen sich dann mit einem Getriebe zwischen Motor und Ritzel anpassen.