TorqueMath

Wärmeausdehnungs-Rechner

Längenänderung und Wärmespannung für 19 technische Werkstoffe, wie sich eine Passung zwischen zwei Teilen bei unterschiedlichen Betriebstemperaturen ändert, und auf welche Temperatur eine Nabe erwärmt oder eine Welle gekühlt werden muss, um einen Schrumpfverband zu fügen – mit gemessenen Tieftemperatur-Schrumpfungsdaten für Trockeneis und flüssigen Stickstoff.

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Berechnen
mm
°C
°C
µm/m·K
GPa
MPa
mm²
0 = keine Kraft berechnen. Die Spannung bei vollständiger Dehnungsbehinderung hängt nicht von der Fläche ab.
mm
Passung bei 20 °C (ISO 286)
µm
µm
Auf den Durchmesser bezogen, bei 20 °C. Negativ = Spiel (zum Beispiel −30 und −10 für eine Laufpassung).
µm/m·K
µm/m·K
Beispiele
°C
°C
Fügeverfahren
Welle kühlen in
°C
Fügespiel
µm
Spiel, das die erwärmte Bohrung gegenüber der Welle haben muss, damit sich die Teile fügen lassen, bevor die Wärme übergeht. Üblich nach DIN 7190 (Roloff/Matek) sind etwa 0.1 % von d; kleine Teile und schnell gefügte Lager kommen mit weniger aus.
Das erwärmte Außenteil ist
°C
Methode und AnnahmenMethode: Freie Wärmedehnung jedes Teils ab 20 °C; mittlerer Ausdehnungskoeffizient 20–100 °C, oberhalb 100 °C für Stähle, austenitischen Edelstahl und Aluminium die Temperaturabhängigkeit der Eurocode-Dehnungsformeln (EN 1993-1-2, EN 1993-1-4, EN 1999-1-2), auf diesen Koeffizienten skaliert; unter 20 °C integrale NIST-Schrumpfungstabellen (alle 10 K interpoliert). Passungen mit freien Durchmessern: Das verbleibende Übermaß ist die Differenz der beiden thermisch veränderten Durchmesser, bezogen auf das Nennmaß d.Grundlage: α als Mittelwert 20–100 °C, E und Mindeststreckgrenze (0,2 %) bei Raumtemperatur. Grenzmaße der angebotenen Passungen nach ISO 286-2 (gleiche Tabellen wie im ISO-Passungs- und im Pressverband-Rechner). Die Spannung gilt für einen geraden, an beiden Enden starr gehaltenen Stab, elastisch, ohne Knicken. Die Teile haben jeweils eine gleichmäßige Temperatur.Grenzen: Kupferlegierungen, Titan, Invar, Kunststoffe, Glas und Beton verwenden ein konstantes mittleres α 20–100 °C: Bei einigen hundert °C ist ihre reale Ausdehnung typisch 10–20 % größer als angezeigt (Invar über 100 °C deutlich mehr, daher auf 200 °C begrenzt). E gilt bei Raumtemperatur. Lagerringe folgen ISO 492, nicht ISO 286: deren Grenzmaße als eigene Werte eingeben. Kunststoffe: α hängt von Feuchte, Füllstoff und Fließrichtung ab und kann um ±30 % abweichen; PTFE hat Phasenumwandlungen bei 19 °C und 30 °C. Messing, Bronze, Grauguss, Aluminiumguss und martensitischer Edelstahl verwenden unter 20 °C eine skalierte Kurve einer ähnlichen Legierung (als „geschätzt“ markiert). Fugendruck, Spannungen und Drehmoment des fertigen Verbands werden hier nicht berechnet – dafür den Pressverband-Rechner verwenden.Normen und Quellen: ASM Ready Reference: Thermal Properties of Metals (Cverna, 2002) · NIST Cryogenic Material Properties database · NBS Monograph 29 (Corruccini & Gniewek) · ISO 286-2 · DIN 7190-1 · SKF and NSK mounting guidance · EN 1992-1-1 · EN 572-1 · ISO 3585Formeln · So wurde dieser Rechner geprüft · TorqueMath v2.8

Optionen

So wird gerechnet

Jeder Werkstoff hat eine thermische Dehnungskurve ε(T): die Längenänderung je Längeneinheit gegenüber der Bezugstemperatur 20 °C (ISO 1, die Temperatur, für die Passungen und Zeichnungen gelten). Über 20 °C ist die Dehnung der mittlere Ausdehnungskoeffizient α (20–100 °C) mal Temperaturdifferenz. Unter 20 °C verwendet der Rechner gemessene Tieftemperatur-Schrumpfungsdaten des NIST, wo es sie gibt, denn α sinkt, je kälter Metalle werden: In flüssigem Stickstoff gekühlter Stahl schrumpft um etwa 0,19 %, nicht um die 0,25 %, die α × ΔT vorhersagt.

Dehnung ε(T) = α · (T − 20 °C) T ≥ 20 °C (mittleres α 20–100 °C) ε(T) = α·(T−20)·α_EC(T)/α_EC(100) T > 100 °C, Stähle und Aluminium (Form der Eurocode-Dehnungskurve) ε(T) = NIST-Tabelle der integralen Schrumpfung T < 20 °C (Stahl, Edelstahl, Al, Cu, Ti, Invar, PTFE, PA) Längenänderung L2 = L · (1 + ε(T2)) / (1 + ε(T1)) ≈ L · α · (T2 − T1) Fläche, Volumen A2/A = (1 + Δε)², V2/V = (1 + Δε)³ ≈ 2αΔT und 3αΔT Volle Behinderung σ = E · Δε F = σ · A (Druck beim Erwärmen) Passung bei T c(T) = c20 + d · [ ε_außen(T_außen) − ε_innen(T_innen) ] c = Spiel, −c = Übermaß Schrumpfverband ε_Nabe(T_Nabe) − ε_Welle(T_Welle) = (Ü_max + s) / d s = Fügespiel gleicher Werkstoff, ΔT = (Ü_max + s) / (α · d) Welle bei Raumtemperatur Welle bei Raumtemp.

Typische Fälle

Temperaturgrenzen beim Schrumpfen

Wälzlager: 120 °C (NSK: „Lager nicht über 120 °C erwärmen“; SKF: nie über 125 °C, sofern der Hersteller nichts anderes angibt; laut SKF reichen meist 80 – 90 °C über Wellentemperatur). Abgedichtete oder gefettete Lager können eine niedrigere Grenze haben – Hersteller fragen. Gehärtete und einsatzgehärtete Teile: 150 °C, da sie meist bei 150 – 200 °C angelassen werden und Härte verlieren, wenn sie über ihre Anlasstemperatur erwärmt werden. Warmausgehärtetes Aluminium (T6): 150 °C, da die Warmauslagerung bei etwa 160 – 180 °C erfolgt und längeres Erwärmen darüber die Legierung überaltert. Unlegierter Stahl und Vergütungsstahl: 350 °C (Zunder, Anlassfarben). Ölbäder: deutlich unter dem Flammpunkt des Öls bleiben (Mineralöle etwa 200 – 250 °C, siehe Datenblatt); über etwa 150 °C Ofen oder Induktionsanwärmgerät verwenden, nie eine offene Flamme an Fertigteilen.

Werkstoffdaten: Stähle, Aluminium, Kupferlegierungen und Titan aus ASM Ready Reference: Thermal Properties of Metals und den Werkstoffnormen (EN 10025, EN 10083, EN 755, EN 1561, EN 1982); Invar nach Aperam/Carpenter; Kunststoffe nach Herstellerdatenblättern (typisch, nicht garantiert); Kalk-Natron-Glas EN 572-1; Borosilikatglas ISO 3585; Beton EN 1992-1-1 (α 10·10⁻⁶ /K, C30/37 Ecm 33 GPa, fctm 2,9 MPa). Tieftemperatur-Schrumpfung: NIST-Fits kryogener Werkstoffeigenschaften für Edelstahl 304, 6061-T6, OFHC-Kupfer, Ti-6Al-4V, Stahl Fe-3,25Ni (innerhalb 2 % von Eisen nach NBS Monograph 29), Invar, PTFE und Polyamid.

Dieser Rechner ermittelt, wie stark ein Teil mit der Temperatur wächst oder schrumpft, wie sich eine Passung ändert, wenn die Teile bei unterschiedlichen Temperaturen laufen, und wie heiß die Nabe bzw. wie kalt die Welle sein muss, um einen Schrumpfverband zu fügen. Er umfasst Längen-, Flächen- und Volumenausdehnung mit der Spannung in einem behinderten Stab, ISO-286-Passungen zwischen zwei Werkstoffen (etwa ein Lager im Aluminiumgehäuse oder eine Stahlwelle in einer Bronzebuchse) und das Schrumpfen durch Erwärmen, Gefriertruhe, Trockeneis oder flüssigen Stickstoff. Unter Raumtemperatur verwendet er gemessene Schrumpfungsdaten statt eines konstanten Koeffizienten. Mechaniker, Monteure, Konstrukteure und Studierende planen damit die Montage, prüfen Passungen bei Betriebstemperatur und vermeiden die Überhitzung von Lagern oder gehärteten Teilen.

Rechenbeispiel: Stahlnabe auf Stahlwelle Ø50 mm, H7/s6

  1. ISO 286 bei Ø50 mm: Bohrung H7 0 / +25 µm, Welle s6 +43 / +59 µm. Das Übermaß bei 20 °C beträgt 43 − 25 = 18 µm bis 59 − 0 = 59 µm.
  2. Fügespiel nach der Faustregel aus DIN 7190 / Roloff/Matek: 0,001 × 50 mm = 0,050 mm = 50 µm.
  3. Die Nabenbohrung muss sich um das größte Übermaß plus das Fügespiel aufweiten: 59 + 50 = 109 µm.
  4. Unlegierter Stahl, α = 11,7 µm/m·K (Mittelwert 20–100 °C): Mit konstantem α ist ΔT = 0,109 mm / (11,7·10⁻⁶ /K × 50 mm) = 186,3 K. Das mittlere α von Stahl steigt über 100 °C (Dehnungskurve nach EN 1993-1-2: bei 200 °C etwa 3 % höher), daher erreicht die Bohrung die nötigen 2,18 µm/mm schon bei ΔT ≈ 180,5 K. Nabe auf etwa 200 °C erwärmen – unter den für unlegierte Stahlteile üblichen ~350 °C. Mit konstantem α ergäben sich 206 °C, etwas mehr Wärme als nötig.
  5. Wäre die Nabe ein Lager (Grenze 120 °C), stattdessen die Welle kühlen. In flüssigem Stickstoff (−196 °C) schrumpft Stahl um 1912 µm/m (NIST), die Welle Ø50 verliert also 95,6 µm. Die Nabe braucht dann nur noch 109 − 95,6 = 13,4 µm, ΔT = 23 K: etwa 43 °C. Mit α × ΔT schiene die Welle um 126 µm zu schrumpfen – 32 % zu optimistisch.

Die Nabe auf etwa 200 °C erwärmen oder die Welle in flüssigen Stickstoff legen und die Nabe auf etwa 43 °C anwärmen. Der fertige Verband hat 18 – 59 µm Übermaß, sobald beide Teile wieder Raumtemperatur haben.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Wärmeausdehnung?

Länge mal Wärmeausdehnungskoeffizient mal Temperaturänderung: ΔL = α × L × ΔT. Ein 1 m langer Stahlstab (α ≈ 11,7 µm/m·K), um 50 K erwärmt, wird 1000 × 11,7·10⁻⁶ × 50 = 0,585 mm länger. Die Fläche wächst um etwa 2αΔT, das Volumen um etwa 3αΔT; der Rechner liefert auch die exakten Werte.

Wie stark muss ich eine Nabe zum Aufschrumpfen erwärmen?

Die Bohrung muss sich um das größte Übermaß plus ein Fügespiel aufweiten, damit die Teile ineinandergleiten: ΔT = (Ü_max + Fügespiel) / (α × d). Für eine Stahlpassung Ø50 H7/s6 mit 59 µm Übermaß und 50 µm Fügespiel ist ΔT = 0,109 / (11,7·10⁻⁶ × 50) ≈ 186 K, also etwa 206 °C ab 20 °C bei konstantem α; berücksichtigt man das über 100 °C steigende α von Stahl, reichen etwa 200 °C.

Wie heiß darf ein Wälzlager zum Montieren werden?

Lagerhersteller begrenzen das Anwärmen mit Induktion oder im Ofen auf etwa 120 °C (NSK; SKF nennt 125 °C), weil höhere Temperaturen Härte und Maßstabilität des Stahls verändern und Dichtungen und Fett schädigen. Abgedichtete oder gefettete Lager können eine niedrigere Grenze haben – Hersteller fragen. Reichen 120 °C nicht, zusätzlich die Welle kühlen.

Wie stark schrumpft Stahl in flüssigem Stickstoff?

Von 20 °C auf −196 °C zieht sich unlegierter Stahl um etwa 0,19 % zusammen (1,9 µm je mm), gemessen vom NIST. Das konstante α bei Raumtemperatur würde etwa 0,25 % vorhersagen und die Schrumpfung um rund ein Drittel überschätzen, weil α mit sinkender Temperatur abnimmt. Eine Welle Ø50 verliert etwa 0,096 mm.

Warum wird ein Lager in einem Aluminiumgehäuse im warmen Zustand lose?

Aluminium dehnt sich etwa doppelt so stark aus wie Wälzlagerstahl (≈ 23 gegenüber 12 µm/m·K). Erwärmt sich das Gehäuse, wächst seine Bohrung schneller als der Außenring, und eine Übermaßpassung bei Raumtemperatur kann zur Spielpassung werden. Der Rechner zeigt für die eingegebene Passung und Temperaturen, bei welcher Temperatur die Passung lose wird.

Welche Spannung entsteht durch Wärmeausdehnung, wenn sich das Teil nicht bewegen kann?

Werden beide Enden starr gehalten, kann sich der Stab nicht ausdehnen, und die Spannung ist σ = E × α × ΔT. Für Stahl (E 200 GPa, α 12 µm/m·K) ergeben 30 K Erwärmung 72 MPa Druck. Lange schlanke Stäbe können schon vorher ausknicken; das prüft der Rechner nicht.

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Geprüft: 7 Ergebnisse von einer separaten Prüfung mit Lehrbüchern, Normen und Herstellerangaben verglichen, 4 Korrektur(en) vorgenommen. Zu den Prüfungen →

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